Question

已知向量=（-cos 2x，a），=（a，2-sin 2x），函數(shù)f（x）=•-5（a∈R，a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）（x∈R）的值域；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，若對(duì)任意的t∈R，函數(shù)y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定b的值（不必證明），并求函數(shù)y=f（x）的在[0，b]上單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用，對(duì)a討論，即可求得函數(shù)f（x）（x∈R）的值域；
（2）由題設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)及函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π可知，b的值為π，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（1）f（x）=•-5==．…（2分）
因?yàn)閤∈R，所以
當(dāng)a＞0時(shí)，-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
所以f（x）的值域?yàn)閇-5，4a-5]．…（4分）
同理，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇4a-5，-5]．…（6分）
（2）當(dāng)a=2時(shí)，，由題設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈（t，t+b]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)及函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π可知，b的值為π．…（8分）
由，得．…（10分）
因?yàn)閤∈[0，π]，所以k=0，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．