已知點(diǎn)P(
3
2
，1)在橢圓Q：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上，且該橢圓的離心率為
1
2
．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）若直線l與直線AB：y=-4的夾角的正切值為2，且橢圓Q上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為
5
，求直線l的方程．
分析：（1）依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式、橢圓的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求方程．
（2）先確定直線的斜率，設(shè)出直線在y軸上的截距m，得到直線的方程，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)（參數(shù)式），利用點(diǎn)到直線的距離的最小值，求出m的值，從而得到直線方程．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）依題意得：
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
1
a2
+
9
4
b2
=1
．（2分）
解之得：a=2，c=1，b=
3
．
∴橢圓Q方程為：
y2
4
+
x2
3
=1．（4分）
（2）由已知可得，直線l的斜率為k=±2，（6分）
①若k=2，設(shè)l的方程是2x-y+m=0，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
3
cosθ，2sinθ)θ∈[0，2π）
則點(diǎn)M到直線l的距離為d=
|2
3
cosθ-2sinθ+m|
22+1
=
|m-4sin(θ-
π
3
)|
5
，（8分）
若m＞0，則dmin=
|m-4|
5
=
5
，得m=9
若m＜0，則dmin=
|m+4|
5
=
5
，得m=-9
所以所求直線l的方程是2x-y+9=0或2x-y-9=0．（12分）
②若k=-2，類似①可得所以所求直線l的方程是2x+y+9=0或2x+y-9=0．（14分）
綜上所述，l的方程為2x-y+9=0或2x-y-9=0或2x+y+9=0或2x+y-9=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式來解決最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P (-1，  
3
2
)是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在λ，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為
5
？若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（1，-2）及其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)中有且只有一個(gè)在不等式2x-by+1＞0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則b的取值范圍是
（-∞，-
3
2
）∪（-
1
2
，+∞）．
（-∞，-
3
2
）∪（-
1
2
，+∞）．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（x，y）為橢圓
x2
4
+y2=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓左、右焦點(diǎn)，下列結(jié)論中：①△PF1F2面積的最大值為
2
；②若過點(diǎn)P、F2的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為Q，則△PF1Q的周長為8；③若過點(diǎn)P、F2的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為Q，則恒有
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4；對(duì)定點(diǎn)A(
3
2
，
1
2
)，則|
PA
|+|
PF2
|的取值范圍為[4-
7
，4+
7
．其中正確結(jié)論的番號(hào)是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•南京二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

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