Question

已知函數f(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x．
（1）證明：當x∈（0，+∞）時，g（x）＜0；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）研究g（x）＜0，轉化成研究函數g（x）的最大值，從而研究g′（x）的符號，求出g′（x）的最小值，得到g（x）在（0，+∞）上的單調性，求出g（x）的最大值即可．
（2）連續(xù)可導函數，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值即可．

解答：解：（1）g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，
則g′（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，
則h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

．（1分）
當-1＜x＜0時，h′（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數．
當x＞0時，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數．（3分）
所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，
所以g′（x）＜0（x≠0），
函數g（x）在（0，+∞）上為減函數．（4分）
當x＞0時，g（x）＜g（0）=0．（5分）
（2）函數f（x）的定義域是（-1，+∞），
f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，（6分）
由（1）知，
當-1＜x＜0時，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x＞g（0）=0，
當x＞0時，g（x）＜g（0）=0，所以，當-1＜x＜0時，
f′（x）＞0∴f（x）在（-1，0）上為增函數．
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數．（8分）
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0），
單調遞減區(qū)間為（0，+∞）．故x=0時f（x）有極大值0．（10分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及不等式轉化成恒成立問題，屬于難題．