設(shè)f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且對任意正數(shù)x均有f′(x)＞,

(Ⅰ)求證：F(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；

(Ⅱ)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),比較f(x1)+f(x2)與f(x1+x2)的大小，并證明你的結(jié)論；

(Ⅲ)設(shè)x1,x2,…xn∈(0,+∞),若n≥2,比較f(x1)+f(x2)+…f(xn)與f(x1+x2+…+xn)的大小，并證明你的結(jié)論.

解析：(Ⅰ)F′(x)=,∵f′(x)＞,x＞0,

∴xf′(x)＞f(x),∴F′(x)＞0,∴F(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

(Ⅱ)∵0＜x1＜x1+x2,∴F(x1)＜F(x1+x2).

    即＜,∴(x1+x2)f(x1)＜x1f(x1+x2).

    同理(x1+x2)f(x2)＜x2f(x1+x2),

∴f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).

(Ⅲ)當(dāng)n=2時，f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2)成立,

    假設(shè)當(dāng)n=k時，f(x1)+f(x2)+…+f(xk)＜f(x1+x2+…+xk)成立.

    那么f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(xk+1)＜f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)＜f(x1+x2+…+xk+1)成立.

∴當(dāng)n=k+1時也成立，

    當(dāng)n≥2時,

∴f(x1)+f(x2)+…+f(xn)＜f(x1+x2+…+xn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使|f(x)|≤|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f(x)為F函數(shù).現(xiàn)給出下列函數(shù)：

①f(x)=2x；                         ②f(x)=x2+1；

③f(x)=(sinx+cosx)；              ④f(x)=;

其中是F函數(shù)的函數(shù)有____________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使|f(x)|≤M|x|對一切實數(shù)x，均成立，則稱f(x)為F函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)：

①f(x)=2x；                 ②f(x)=x2+1；

③f(x)=(sinx+cosx)；      ④f(x)=；

其中是F函數(shù)的函數(shù)有____________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年安徽省安慶市高一三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

設(shè)f(x)的定義域為[0，2]，則函數(shù)f(x2)的定義域是                         

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆安徽省安慶市三校聯(lián)考高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：填空題

設(shè)f(x)的定義域為[0，2]，則函數(shù)f(x2)的定義域是                             

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案