如圖所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，與底面ABCD成30角．若AE⊥PD，E為垂足，PD與底面成30°角．
（1）求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的大�。�

【答案】分析：（1）以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積為零可知線線垂直，從而 面BEA，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知PD⊥BE；
（2）先分別求出向量 ，向量 的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角公式求出兩向量的夾角的余弦值，即為AE與CD所成角的余弦值；
解答：解：為了計算方便不妨設(shè)a=1．
（1）證明：根據(jù)題意可得：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）
則
又
所以 面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，
∴∠PDA=30°
過E作EF⊥AD，垂足為F，則AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
，
于是
又
則
∴AE與CD所成角的余弦值為 ．
點評：本題主要考查了線線的位置關(guān)系、線線所成角，以及同時考查了利用空間向量求解立體幾何問題，考查空間想象能力，運算求解能力，屬于綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，與底面ABCD成300角．若AE⊥PD，E為垂足，PD與底面成30°角．
（1）求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA1B1B中，AA1垂直于AT，且|AA1|=|AT|，BB1垂直于BT，且|BB1|=|BT|，A1B1交半圓于P，Q兩點，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求直線A1B1的方程；               
（Ⅱ）求P，Q兩點的坐標(biāo)；
（Ⅲ）證明：由點P發(fā)出的光線PT，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示直角梯形ABCD中上底CD=2，下底AB=4，高BC=1直線l與線段AB垂直相交，設(shè)A點到直線l的距離為x，直線l截梯形ABCD所得的位于l左方的圖形面積為y．
（1）求函數(shù)y=f（x）解析式；
（2）在給定的坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=f（x）的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示直角梯形ABCD中，∠A=90°，PA⊥面ABCD，AD||BC，AB=BC=a，AD=2a，與底面ABCD成300角．若AE⊥PD，E為垂足，PD與底面成30°角．
（1）求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成的角的大�。�
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