設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=，1，a2=
5
3
，an+2=
5
3
an+1+
1
3
an，(n=1，2，…)
（1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn．
分析：（1）由bn=an+1-an和an+2=
5
3
an+1+
1
3
an推出bn與bn-1之間的關(guān)系，求出數(shù)列的bn的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）中求出的數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{nan}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出Sn．
解答：解：（1）∵bn+1=an+2-an+1=
5
3
an+1-
2
3
an- an+1
=
2
3
(an+1-an)=
2
3
bn
∴{bn}是以公比為
2
3
的等比數(shù)列，且b1=a2-a1=
2
3

∴bn=(
2
3
)n
（2）由bn=an+1- an =(
2
3
)n得
an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=(
2
3
)n+(
2
3
)n-1+…+ (
2
3
)2+
2
3
=2[1-(
2
3
)n ]
注意到a1=1，可得an=3-
2n
3n-1

記數(shù)列{
n2n-1
3n-1
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則
Tn=1+2•
2
3
+…+n•(
2
3
)n-1，
2
3
Tn=
2
3
+2•(
2
3
)2+…+n•(
2
3
)n
兩式相減得
1
3
Tn=1+
2
3
+(
2
3
)2+ …+(
2
3
)n-1-n•(
2
3
) n=3[1-(
2
3
)n]-n(
2
3
)n
故Tn=9[1-(
2
3
)n]-3n(
2
3
)n=9-
(3+n)2n
3n-1

從而Sn=a1+2a2+…+nan=3（1+2+3+…+n）-2Tn
=
3
2
n(n+1)+
(n+3)2n+1
3n-1
-18
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是探討出相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系；數(shù)列求和抓住通項(xiàng)公式是求和的關(guān)鍵；屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù)
（1）證明：an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時(shí)，總有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1對(duì)任意n∈N*成立，求實(shí)數(shù)c的范圍．（理科做，文科不做）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，把Dn內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時(shí)，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大�。�

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