已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(diǎn),且線段P1P2中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是
1
2

(1)求證點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值; 
(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=f(
n
m
)
(m∈N*),n=1,2…m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm; 
(3)在(2)的條件下,若m∈N*時(shí),不等式
am
Sm
am+1
Sm+1
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由
x1+x2
2
=
1
2
知,x1+x2=1,故y1+y2=
1
4x1+2
+
1
41-x1+2
,由此能夠證明點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值.
(2)已知Sm=a1+a2+…+am=f(
1
m
)+f(
2
m
)+…+f(
m-1
m
)+f(1)
,利用倒序相加法能夠求出數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm
(3)由
am
Sm
am+1
Sm+1
,得12am
1
3m-1
-
a
3m+2
)<0對m∈N+恒成立.由此利用分類討論思想能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)由
x1+x2
2
=
1
2
知,x1+x2=1,則
y1+y2=
1
4x1+2
+
1
4x2+2

=
1
4x1+2
+
1
41-x1+2

=
1
4x1+2
+
4x1
2(4x1+2)

=
1
2
,
故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是
1
4
,為定值.
(2)已知Sm=a1+a2+…+am
=f(
1
m
)+f(
2
m
)+…+f(
m-1
m
)+f(1)
,
又Sm=am-1+am-2+…+a1+am
=f(
m-1
m
)+f(
m-2
m
)+…+f(
1
m
)+f(1)
二式相加,得
2Sm=[f(
1
m
)+f(
m-1
m
)]
+[f(
2
m
)+f(
m-2
m
)]
+…+[f(
m-1
m
)+f(
1
m
)]+2f(1)
,
因?yàn)?span id="xkivre6" class="MathJye">
k
m
+
m-k
m
=1,(k=1,2,…m-1),故f(
k
m
)+f(
m-k
m
)=
1
2
,
又f(1)=
1
4+2
=
1
6
,從而Sm=
1
12
(3m-1)
.(12分)
(3)由
am
Sm
am+1
Sm+1
,
得12am
1
3m-1
-
a
3m+2
)<0…①對m∈N+恒成立.
顯然,a≠0,
(。┊(dāng)a<0時(shí),由
1
3m-1
-
a
3m+2
>0
,得am<0.
而當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)am<0不成立,所以a<0不合題意;
(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閍m>0,
則由式①得,a>
3m+2
3m-1
=1+
3
3m-1

3
3m-1
隨m的增大而減小,
所以,當(dāng)m=1時(shí),1+
3
3m-1
有最大值
5
2
,故a
5
2
.(18分)
點(diǎn)評:本題考查點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值的證明,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意倒序相加法、分類討論思想的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+m
(m>0)
,當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時(shí),總有f(x1)+f(x2)=
1
2

(1)求m的值;
(2)設(shè)數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
,求an的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+m
 (m>0)
,當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時(shí),總有f(x1)+f(x2)=
1
2

(1)求m的值;
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
,求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)對?n∈N*
kn
an
kn+1
an+1
恒成立,求k的取值范圍(其中k>0且k≠1).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:東城區(qū)2001~2002學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)目標(biāo)檢測 高一數(shù)學(xué)-~+A、B 題型:013

已知f(x-3)=+2x+1,則f(x+3)等于

[  ]

A.+14x+49

B.+8x+16

C.-4x+2

D.-14x+49

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:013

已知f(x-3)=+2x+1,則f(x+3)等于

[  ]

A.+14x+49

B.+8x+16

C.-4x+2

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