Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2a，a_n=2a-

a2

an-1

（n≥2），其中a是不為0的常數，令b_n=

1

an-a

．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）把的a_n遞推式代入b_n，進而求得b_n-b_n-1為常數，判斷出數列{b_n}是公差為

1

a

的等差數列．
（2）利用（1）可求得b_n，進而根據b_n=

1

an-a

求得a_n．

解答：解：∵（1）a_n=2a-

a2

an-1

（n≥2），
∴b_n=

1

an-a

=

1

a- a2 an-1

=

an-1

a(an-1-a)

（n≥2），
∴b_n-b_n-1=

an-1

a(an-1-a)

-

1

an-1-a

=

1

a

（n≥2），
∴數列{b_n}是公差為

1

a

的等差數列．
（2）∵b₁=

1

a1-a

=

1

a

，
故由（1）得：b_n=

1

a

+（n-1）×

1

a

=

n

a

．
即：

1

an-a

=

n

a

，
得：a_n=a（1+

1

n

）．

點評：本題主要考查了等差關系的確定．考查了學生對等差數列的定義的理解．