Question

在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當前臺風(fēng)中心位于城市O(如圖所示)的東偏南θ(θ=arccos)方向300 km 的海面P處，并以20km／h 的速度向西偏北方向移動．臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60 km，并以10 km／h 的速度不斷增大．問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？

Answer 1

答案：
解析：

解析：方法一　設(shè)t小時后，臺風(fēng)中心為Q，此時臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為(10t＋60)km．若在時刻t城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則OQ≤10t＋60． 　　由余弦定理知OQ2＝PQ2＋PO2－2PQ·PO·cos∠OPQ，由于PO＝300，PQ＝20t，又因為 　cos∠OPQ＝cos(θ－) 　　　　　 ＝cosθcos＋sinθsin 　　　　　 ＝×＋× 　　　　　 ＝ 　　所以O(shè)Q2＝(20t)2＋3002－2×20t×300× 　　＝202t2－9600t＋3002． 　　因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2， 　　即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24． 　　答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲． 　　方法二　如圖所示建立直角坐標系，以O(shè)為原點．正東方向為x軸正向． 　　t小時后臺風(fēng)中心(，)的坐標為 　　此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是(x－)2＋(y－2)≤，其中r(t)＝10t＋60． 　　若t小時后城市O受到臺風(fēng)侵襲，則有(0－)2＋(0－)2≤(10t＋60)2 　　即(300×－20×t)2＋(－300×＋20×t)2≤(10t＋60)2 　　即t2－36＋288≤0，解得12≤t≤24． 　　答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲．