已知A,B為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上兩點,且OA⊥OB(O為原點)
(1)求證:
1
|OA|2
+
1
|OB|2
為定值
(2)求△AOB面積的最大值和最小值.
分析:(1)可利用直線OA,OB方程與橢圓方程聯(lián)立求A,B點坐標滿足的一元方程,進而求出A,B的橫縱坐標的平方,代入
1
|OA|2
+
1
|OB|2
,化簡即可.
(2)由SAOB=
1
2
|OA||OB|,
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
a2+b2
a2b2
,可根據(jù)均值不等式求最小值,再根據(jù)S2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2
,把|OB|2轉(zhuǎn)化為|OA|2,再根據(jù)橢圓中,|OA|范圍即可求出面積最大值.
解答:解:(1)設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=  1
,設當直線OA斜率存在且不為0時,設方程為y=kx,
∵A,B分別為橢圓上的兩點,且OA⊥OB.∴直線OB方程為y=-
1
k
x
設A(x1,y1),b(x2,y2),把y=kx代入
x2
a2
+
y2
b2
=  1
x12=
a2b2
b2+a2k2 
,∴y12=
k2a2b2
b2+a2k2

把y=-
1
k
x代入
x2
a2
+
y2
b2
=  1
,得   x22=
a2b2k2
a2+b2k2
,∴y22=
a2b2
a2+b2k2
                        
  
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
1
x12+y12
+
1
x22+y22
=
1
a2b2
b2+a2k2
+  
k2a2b2
b2+a2k2
+
1
 
a2b2k2
a2+b2k2
+  
a2b2
a2+b2k2
=
a2+b2
a2b2

當直線OA,OB其中一條斜率不存在時,則另一條斜率為0此時
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
1
a2
+
1
b2
=
a2+b2
a2b2

綜上,
1
|OA|2
+
1
|OB|2
為定值
(2)SAOB=
1
2
|OA||OB|,∴S2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2
由(1)知
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
a2+b2
a2b2
≥2
1
|OA|2
1
|OB|2
=
2
|OA||OB|

∴SAOB=
1
2
|OA||OB|≥
a2b2
a2+b2
,∴S△AOBmin=
a2b2
a2+b2

∵S2AOB=
1
4
|OA|2|OB|2=
1
4
|OA|2 (
1
a2+b2
a2b2
-  
1
|OA|2
)

∵|OA|≤a,∴S2AOB≤
1
4
a2
1
a2+b2
a2b2
-
1
a2
)=
1
4
a2b2
S△AOBmax=
ab
2

綜上 S△AOBmin=
a2b2
a2+b2
S△AOBmax=
ab
2
點評:本題考查了橢圓中定植問題和最值問題,與不等式聯(lián)系,題目較難,應認真分析題意.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>b>0F是方程
x2
b2
+
y2
a2
=1
的橢圓E的一個焦點,P、A,B是橢圓E上的點,
PF
與x軸平行,
PF
=
a
4
,設A(x1,y1),B(x2,y2),
i
=(
x1
b
,
y1
a
)
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,
i
n
原點O與A、B兩點構(gòu)成的△AOB的面積為S
(I )求橢圓E的離心率
(II)設橢圓E上的點與橢圓£的長軸的兩個端點構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2,S是否為定值?如果是,求出這個定值:如果不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點M(
6
,1,O是坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點A、B為橢圓C上相異兩點,且
OA
OB
,判定直線AB與圓O:x2+y2=
8
3
的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,CP是圓O的切線,P為切點,直線CO交圓O于A,B兩點,AD⊥CP,垂足為D.
求證:∠DAP=∠BAP.
B.選修4-2:矩陣與變換
設a>0,b>0,若矩陣A=
.
a0
0b
.
把圓C:x2+y2=1變換為橢圓E:
x2
4
+
y2
3
=1.
(1)求a,b的值;(2)求矩陣A的逆矩陣A-1
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中,已知圓C:ρ=4cosθ被直線l:ρsin(θ-\frac{π}{6})=a截得的弦長為2
3
求實數(shù)a的值.
D.選修4-5:不等式選講已知a,b是正數(shù),求證:a2+4b2+
1
ab
≥4.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x與橢圓x2+
y2
a2
=1(a>1)交于A、B兩點,點F為拋物線的焦點,若∠AFB=120°,則橢圓的離心率為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1
上的兩個焦點,A,B是過焦點F1的一條動弦,則△ABF2的面積的最大值為( 。

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