Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，$f（x）=\frac{1}{2}（{|{x-1}|+|{x-2}|-3}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）畫出f（x）的圖象；
（3）若對任意的x∈R，恒有f（x）≤f（x+a），求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，$f（x）=\frac{1}{2}（{|{x-1}|+|{x-2}|-3}）$，可求得當(dāng)x＜0時f（x）=-$\frac{1}{2}（|x+1|+|x+2|-3）$，從而可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）=$\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-2}\\{1，-2≤x≤-1}\\{-x，-1＜x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$即可畫出f（x）的圖象；
（3）依題意，可得f（x+a）的圖象恒在f（x）的圖象上方或部分重合，所以只需函數(shù)y=f（x+a）的圖象與x軸最右邊的交點P（-a+3，0）在函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸最左邊的交點（-3，0）的左側(cè)或與點（-3，0）重合即可求得正實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，$f（x）=\frac{1}{2}（{|{x-1}|+|{x-2}|-3}）$．
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）=$\frac{1}{2}（|-x-1|+|-x-2|-3）$=-f（x），
∴f（x）=-$\frac{1}{2}（|x+1|+|x+2|-3）$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-2}\\{1，-2≤x≤-1}\\{-x，-1＜x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$；
（2）畫出f（x）的圖象如下：

（3）∵a＞0，
∴函數(shù)y=f（x+a）的圖象是函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a個單位得到的，
又對任意的x∈R，恒有f（x）≤f（x+a），
∴只需f（x+a）的圖象恒在f（x）的圖象上方或部分重合，
所以只需函數(shù)y=f（x+a）的圖象與x軸最右邊的交點P（-a+3，0）在函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸最左邊的交點（-3，0）的左側(cè)或與點（-3，0）重合，
∴-a+3≤-3，
∴a≥6．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查利用函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)解析式及作圖能力，對于（3）分析出y=f（x+a）與x軸最右邊的交點在y=f（x）與x軸最左邊交點的左邊或重合是關(guān)鍵，也是難點，考查推理與運算能力，屬于難題．