Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點為O，點A，B在x軸上，OA=1，OB=5，點C在y軸上，OC=2.5，第一象限有一點D的坐標(biāo)為（3，4），連接AD，BD，點E是線段AB上一動點（不與點A重合），過E作EF⊥AB交射線AD于點F，以EF為一邊在EF的右側(cè)作正方形EFGH，設(shè)E點的坐標(biāo)為（t，0）
（1）求射線AD的解析式；
（2）在線段AB上是否存在點E，使△OCG為等腰三角形？若存在，求正方形EFGH的邊長；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)正方形EFGH與△ABD重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：直線的一般式方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)點A、D的坐標(biāo)求出射線AD的方程，注意x的取值范圍；
（2）根據(jù)等腰三角形的定義討論CO=OG、CG=OG和CG=OG時，t的值是什么，求出對應(yīng)的正方形邊長即可；
（3）分0＜t≤

7

5

，

7

5

＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤5，-1＜t≤0幾種情況，討論S的解析式是什么，從而得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答： 解：（1）∵點A（-1，0），D（3，4），
∴射線AD的方程是

y-0

4-0

=

x+1

3+1

，即x-y+1=0（x≥-1）；
（2）由（1）知，y=x+1（x≥-1），
當(dāng)x=0時，y=1；
∵E（t，0），∴OE=t（-1＜t≤5），
∴AE=t+1，EF=t+1；
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE=t+1；
∴G（2t+1，t+1）；
①當(dāng)CO=OG時，（2t+1）²+（t+1）²=2.5²，
解得t₁=0.5，t₂=-1.7（舍去），
∴正方形的邊長為0.5+1=1.5；
②當(dāng)CG=OG時，（2t+1）²+（t+1-2.5）²=2.5²，
解得t₁=

61 -1

10

，t₂=

- 61 -1

10

（舍去），
∴正方形的邊長為

61 -1

10

+1=

61 +9

10

；
③當(dāng)CG=OG時，（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-2.5）²，
解得t=0.25，
∴正方形的邊長為0.25+1=1.25；
綜上，存在點E，使△OCG為等腰三角形，此時正方形EFGH的邊長為1.5，或

61 +9

10

，或1.25；
（3）設(shè)BD的方程為y=kx+b，∵B（5，0），D（3，4），
∴

3k+b=4 5k+b=0

解得k=-2、b=10；
∴直線BD：y=-2x+10，
把G點的坐標(biāo)代入得，t+1=-2（2t+1）+10，解得t=

7

5

；
①如圖（1），當(dāng)0＜≤

7

5

時，S=（t+1）²=t²+2t+1；
②如圖（2），當(dāng)點H與點B重合時，即2t+1=5，t=2時，
令t+1=-2x+10，得x=4.5-

1

2

t；
∴當(dāng)

7

5

＜t≤2時，S=

1

2

（4.5-

1

2

t-t+5-t）（t+1）-

1

2

•2（4-2t）（4-2t）=-

21

4

t²+

39

2

t-

45

4

；
③如圖（3），當(dāng)2＜t≤3時，S=

1

2

（4.5-

1

2

t-t+5）（t+1）=-

5

4

t²+

7

2

t+

19

4

；
④如圖（4），作DS⊥OB于S，∴∠DSB=90°，∴OS=3，DS=4，OB=5，
∴BS=2，∴tan∠DBS=2；
當(dāng)3＜t≤5時，BE=5-t，PE=2（5-t），
∴S=

1

2

×2（5-t）（5-t）=t²-10t+25；
⑤如圖（5），當(dāng)-1＜t≤0時，E（t，0），OE=-t，∴AE=EF=1+t，
∴S=（t+1）²=t²+2t+1；
綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式是S（t）=

t2+2t+1，-1＜t≤ 7 5 - 21 4 t2+ 39 2 t- 45 4 ， 7 5 ＜t≤2 - 5 4 t2+ 7 2 t+ 19 4 ，2＜t≤3 t2-10t+25，3＜t≤5

．

點評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，考查了等腰三角形的應(yīng)用問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，考查了多邊形的面積的計算問題，是綜合性題目．