Question

已知函數

(Ⅰ)求此函數的單調區(qū)間及最值；

(Ⅱ)求證：對于任意正整數n，均有(e為自然對數的底數)；

(Ⅲ)當a＝1時，是否存在過點(1，－1)的直線與函數y＝f(x)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：由題意．……1分

　　當時，函數的定義域為，

　　此時函數在上是減函數，在上是增函數，

　　，無最大值．……3分

　　當時，函數的定義域為，

　　此時函數在上是減函數，在上是增函數，

　　，無最大值．……5分

　　(Ⅱ)取，由⑴知，

　　故，

　　取，則．……9分

　　(Ⅲ)假設存在這樣的切線，設其中一個切點，

　　∴切線方程：，將點坐標代入得：

　　，即，①

　　設，則．……12分

　　，

　　在區(qū)間，上是增函數，在區(qū)間上是減函數，

　　故．

　　又，

　　注意到在其定義域上的單調性，知僅在內有且僅有一根

　　方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．……14分