已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且|OP|=
10
2
，
PF1
•
P F2
=
1
2
（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使
OM
+
ON
=λ
OA
，λ∈（0，2）求橢圓的弦-3的長(zhǎng)度的取值范圍．
分析：（Ⅰ）可設(shè)設(shè)P（x0，y0），由|OP|=
10
2
⇒x02+y02=
5
2
①，由
PF1
•
PF2
=
1
2
⇒x02+y02-c2=
1
2
②，
c
a
=
6
3
③，
①②③⇒橢圓C的方程為：
x2
3
+y2=1；
（Ⅱ）解法一：由
y=x
x2
3
+y2=1
得A（
3
2
，
3
2
），設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組
y=kx+m
x2
3
+y2=1
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，再設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達(dá)定理可得則x1+x2=-
6km
1+3k2
，x1x2=
3m2-3
1+3k2
，結(jié)合
OM
+
ON
=λ
OA
得：是x1+x2=
3m
2
，x1x2=
9m2-9
4
，m=
3
3
λ，從而用弦長(zhǎng)公式可求得|MN|的取值范圍；
解法二：由
y=x
x2
3
+y2=1
得A（
3
2
，
3
2
），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則
x12
3
+y12=1
x22
3
+y22=1
⇒x1+x2+3（y1+y2）•
y2-y1
x2-x1
=0…①
OM
+
ON
=λ
OA
⇒x1+x2=
3
2
λ，y1+y2=
3
2
λ，代入①，
⇒kMN=-
1
3
，從而可得直線MN的方程為：y-
3
4
λ=-
1
3
（x-
3
4
λ），代入橢圓方程得：4y2-2
3
λy+λ2-1=0，
⇒y1+y2=
3
2
λ，y1•y2=
λ2-1
4
，⇒|MN|=
10
|y1-y2|=
10
•
4-λ2
2
，由λ∈（0，2）⇒0＜|MN|＜10．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），由|OP|=
10
2
得：x02+y02=
5
2
，…（1分）
由
PF1
•
PF2
=
1
2
得：（-c-x0，-y0）-（c-x0，-y0）=
1
2
，即x02+y02-c2=
1
2
，…（2分）
∴c=
2
，又因?yàn)?span id="rbz7tvb" class="MathJye">
c
a
=
6
3
，
∴a2=3，b2=1 …（3分）
∴橢圓C的方程為：
x2
3
+y2=1；            …（4分）
（Ⅱ）解法一：由
y=x
x2
3
+y2=1
得A（
3
2
，
3
2
），
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組
y=kx+m
x2
3
+y2=1
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0   …（5分）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1+x2=-
6km
1+3k2
，x1x2=
3m2-3
1+3k2
，…（6分）
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=
2m
1+3k2
，
∵
OM
+
ON
=λ
OA
，
∴x1+x2=
3
2
λ，y1+y2=
3
2
λ，
∴
-
6km
1+3k2
=
3
2
λ
2m
1+3k2
=
3
2
λ
得：kMN=-
1
3
，m=
3
3
λ，
于是x1+x2=
3m
2
，x1x2=
9m2-9
4
，…（8分）
∴|MN|=
1+( -
1
3
)2
|x1-x2|=
10
3
(x1+x2)2-4x1x2
=
10
4-3m2
2
．…（10分）
又λ∈（0，2），
∴m∈(0，
2
3
3
)，
∴0＜4-3m2＜4，
∴0＜|MN|＜10…（12分）
解法二：由
y=x
x2
3
+y2=1
得A（
3
2
，
3
2
），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則
x12
3
+y12=1
x22
3
+y22=1
，
∴x1+x2+3（y1+y2）•
y2-y1
x2-x1
=0…①…（5分）
∵
OM
+
ON
=λ
OA
，
∴x1+x2=

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      相關(guān)習(xí)題

      科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

      已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的離心率為
      1
      2
      ，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
      3
      2
      )      ．
      （1）求橢圓C的方程；
      （2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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      科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

      已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
      		3
      ，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
      （1）求橢圓C的方程；
      （2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
      DA
      =λ
      DB
      ，若λ∈[
      3
      8
      ，
      1
      2
      ]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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      科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

      已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
      		3
      2
      ），且離心率e=
      		3
      2
      ．
      （Ⅰ）求橢圓C的方程；
      （Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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      科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

      （2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1      （a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
      1
      2
      ．
      （Ⅰ）求橢圓方程；
      （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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      科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

      已知橢圓C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
      		2
      2
      ，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
      AP+BQ
      PQ
      ，若直線l的斜率k≥
      		3
      ，則λ的取值范圍為
       
      ．

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