Question

定義域是R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈（0，2]時，f（x）=

x2-x，x∈(0，1] -log2x，x∈(1，2]

，若x∈（-4，-2]時，f（x）≤

t

4

-

1

2t

有解，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（x+2）=2f（x）及當x∈（0，2]時，f（x）=

x2-x，x∈(0，1] -log2x，x∈(1，2]

可化簡得當x∈（-4，-2]時，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）=

1 4 (x2+7x+12)，-4＜x≤-3 - 1 4 log2(4+x)，-3＜x≤-2

；從而求得-

1

4

≤

t

4

-

1

2t

，從而解得．

解答： 解：∵f（x+2）=2f（x），
又∵當x∈（-4，-2]時，x+4∈（0，2]；
∴f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）
=

1 4 (x2+7x+12)，-4＜x≤-3 - 1 4 log2(4+x)，-3＜x≤-2

；
由分段函數(shù)可求得，
f（x）≥-

1

4

；
故-

1

4

≤

t

4

-

1

2t

，
解得，t∈[-2，0）∪[1，+∞）；
故選B．

點評：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．