Question

（2013•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)y=f（x），任取t∈R，定義集合：A_t={y|y=f（x）}，點(diǎn)P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤

2

．設(shè)M_t，m_t分別表示集合A_t中元素的最大值和最小值，記h（t）=M_t-m_t．則
（1）若函數(shù)f（x）=x，則h（1）=

2

；
（2）若函數(shù)f（x）=sin

π

2

x，則h（t）的最小正周期為

2

．

Answer 1

分析：（1）若函數(shù)f（x）=x，則點(diǎn)P（t，t），Q（x，x），根據(jù)|PQ|≤

2

，求得 1-t≤x≤t+1，即M_t =1+t，m_t =1-t，由此可得h（1）的值．
（2）若函數(shù)f（x）=sin

π

2

x，畫出函數(shù)的圖象，分析點(diǎn)P在曲線上從A接近B，從B接近C，從C接近D時(shí)，從D接近E時(shí)，h（t）值的變化情況，從而得到 h（t）的最小正周期．

解答：解：（1）若函數(shù)f（x）=x，則 點(diǎn)P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|≤

2

，∴

(x-t)2+(x-t)2

≤

2

，
化簡(jiǎn)可得|x-t|≤1，-1≤x-t≤1，即 1-t≤x≤t+1，即M_t =1+t，m_t =1-t，∵h(yuǎn)（t）=M_t-m_t ，
h（1）=（1+1）-（1-1）=2．
（2）若函數(shù)f（x）=sin

π

2

x，此時(shí)，函數(shù)的最小正周期為

2π

π 2

=4，點(diǎn)P（t，sin

πt

2

），Q（x，sin

πx

2

），
如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O在曲線OAB上，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
當(dāng)點(diǎn)P在曲線上從A接近B時(shí)，h（t）逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)時(shí)，M_t=1，m_t=-1，h（t）=M_t-m_t=2．
當(dāng)點(diǎn)P在曲線上從B接近C時(shí)，h（t）逐漸見減小，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
當(dāng)點(diǎn)P在曲線上從C接近D時(shí)，h（t）逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在D點(diǎn)時(shí)，M_t=1，m_t=-1，h（t）=M_t-m_t=2．
當(dāng)點(diǎn)P在曲線上從D接近E時(shí)，h（t）逐漸見減小，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，M_t=1，m_t=0，h（t）=M_t-m_t=1．
…依此類推，發(fā)現(xiàn) h（t）的最小正周期為2，
故答案為 2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．