Question

6．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若4S₁，3S₂，2S₃成等差數(shù)列，且S₄=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S_n≤127，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知2S₂-2S₁=S₃-S₂，則2a₂=a₃，即可求得公比q，由S₄=15，即可求得a₁=1，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，由S_n≤127，在2ⁿ≤128=2⁷，即可求得n的最大值．

解答 解：（1）由題意得3S₂=2S₁+S₃，
∴2S₂-2S₁=S₃-S₂，即2a₂=a₃
∴等比數(shù)列{a_n}公比q=2…（3分）
又${S_4}=\frac{{{a_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=15$，則a₁=1，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}={2^{n-1}}$…（5分）
（2）由（1）知${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^{n）}}}}{1-q}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$，…（7分）
由S_n≤127，得2ⁿ≤128=2⁷，
∴n≤7，
∴n的最大值為7．  …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．