Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）．若對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax對(duì)g（x），求導(dǎo)得g'（x）=ln（x+1）+1-a，令g'（x）=0⇒x=e^a-1-1，
當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有的x＞0都有g(shù)'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，又g（0）=0，所以對(duì)x≥0時(shí)有g(shù)（x）≥g（0），即當(dāng)a≤1時(shí)都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜e^a-1-1時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）上是減函數(shù)，又g（0）=0，所以對(duì)于0＜x＜e^a-1-1有g(shù)（x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以當(dāng)a＞1時(shí)f（x）≥ax不一定成立
綜上所述即可得出a的取值范圍．
解答：解法一：
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
（i）當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又g（0）=0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)（x）≥g（0），
即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是減函數(shù)，
又g（0）=0，所以對(duì)0＜x＜e^a-1-1，都有g(shù)（x）＜g（0），
即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．
解法二：
令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
于是不等式f（x）≥ax成立即為g（x）≥g（0）成立．
對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)：g′（x）=ln（x+1）+1-a
令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，
當(dāng)x＞e^a-1-1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)-1＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
所以要對(duì)所有x≥0都有g(shù)（x）≥g（0）充要條件為e^a-1-1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范圍是（-∞，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難度較大，涉及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．