Question

已知直線l：y=kx+1過定點A，動點M（x，y）滿足|

MA

|=|y+1|，動點M的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）直線l與C交于P、Q兩點，以P、Q為切點分別作C的切線，兩條切線交于點B．
①求證：AB⊥PQ；
②若直線AB與C交于R、S兩點，求四邊形PRQS面積的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出定點A，再由兩點距離公式，化簡整理即可得到C的方程；
（2））①設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由拋物線上一點的切線方程得到切線，兩式相減，求得B的橫坐標，代入求得縱坐標，再由直線的斜率即可判斷垂直；
②聯立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理，再設四邊形PRQS面積S=

1

2

|PQ|•|RS|，運用弦長公式，化簡整理，再由基本不等式，即可求出最小值．

解答： （1）解：直線l：y=kx+1過定點A（0，1），
動點M（x，y）滿足|

MA

|=|y+1|，則有x²+（y-1）²=（y+1）²，
化簡得，x²=4y，即有C的方程：x²=4y；
（2）①設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁=kx₁+1，
由直線l和拋物線方程，聯立，消去y，得，x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由拋物線上一點的切線方程得，x₁x=2（y+y₁），x₂x=2（y+y₂），
兩式相減得，x=

2(y1-y2)

x1-x2

=2k，則y=kx₁-y₁=-1．
即有B（2k，-1），AB斜率為

1+1

-2k

=-

1

k

，
則有AB⊥PQ；
②直線AB：y=-

1

k

x+1與拋物線交于R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
則易得x₃+x₄=

4

-k

，x₃x₄=-4，
四邊形PRQS面積S=

1

2

|PQ|•|RS|=

1

2

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+ 1 k2

(x3+x4)2-4x3x4

=

1

2

1+k2

(4k)2-4×(-4)

•

1+ 1 k2

•

( 4 -k )2-4×(-4)

=8•

(1+k2)2

k2

=8（k²+

1

k2

+2）≥8（2

k2• 1 k2

+2）=32．
當且僅當k=±1，取得最小值32．
則四邊形PRQS面積的最小值為32．

點評：本題考查拋物線方程及運用，考查直線方程和拋物線方程聯立，消去未知數，運用韋達定理，弦長公式，化簡整理，考查基本不等式的運用和切線的方程求法，考查運算能力，屬于中檔題．