已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若時,關(guān)于
的方程
有唯一解,求
的值;
(3)當(dāng)時,證明: 對一切
,都有
成立.
(1)當(dāng)k是奇數(shù)時, f(x)在(0,+)上是增函數(shù);
當(dāng)k是偶數(shù)時,f (x)在上是減函數(shù),在
上是增函數(shù).
(2)
(3)當(dāng)時, 問題等價于證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是
,當(dāng)且僅當(dāng)
時取到,
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)求解。
【解析】
試題分析:(1)由已知得x>0且.
當(dāng)k是奇數(shù)時,,則f(x)在(0,+
)上是增函數(shù);
當(dāng)k是偶數(shù)時,則.
所以當(dāng)x時,
,當(dāng)x
時,
.
故當(dāng)k是偶數(shù)時,f (x)在上是減函數(shù),在
上是增函數(shù).…………4分
(2)若,則
.
記
,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解; 令,得
.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082113005803285133/SYS201308211301237303421490_DA.files/image023.png">,所以
(舍去),
. 當(dāng)
時,
,
在
是單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)時,
,
在
上是單調(diào)遞增函數(shù).
當(dāng)x=x2時, ,
. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082113005803285133/SYS201308211301237303421490_DA.files/image035.png">有唯一解,所以
.
則 即
設(shè)函數(shù)
,
因?yàn)樵趚>0時,h (x)是增函數(shù),所以h (x) = 0至多有一解.
因?yàn)閔 (1) = 0,所以方程(*)的解為x 2 = 1,從而解得…………10分
另解:即
有唯一解,所以:
,令
,則
,設(shè)
,顯然
是增函數(shù)且
,所以當(dāng)
時
,當(dāng)
時
,于是
時
有唯一的最小值,所以
,綜上:
.
(3)當(dāng)時, 問題等價于證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是
,當(dāng)且僅當(dāng)
時取到,
設(shè),則
,
易得,當(dāng)且僅當(dāng)
時取到,
從而對一切,都有
成立.故命題成立.…………16分
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,不等式恒成立問題。
點(diǎn)評:難題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,不等式恒成立問題,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的常見問題,本題因?yàn)閰?shù)的引入,增大了討論的難度,學(xué)生易出錯。不等式恒成立問題,往往通過構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的最值,使問題得解。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省高三10月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果存在,使函數(shù)
在
處取得最小值,試求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆云南省高三上期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖南省岳陽市高三第三次月考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)討論的奇偶性與單調(diào)性;
(2)若不等式的解集為
的值;
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