分析:(1)直接根據(jù)定義得到有
解得
即可得到與橢圓
+=1相似的橢圓方程;
(2)先對(duì)射線與y軸重合時(shí)求出結(jié)論;再對(duì)射線不與坐標(biāo)軸重合時(shí),由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,僅考查A、B在第一象限的情形,聯(lián)立直線與兩個(gè)橢圓方程分別求出線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出
|OA|+的最大值和最小值;(整理過(guò)程需小心避免出錯(cuò)).
(3)分析出命題的基本條件為:橢圓、
a=2,b=、m=2、等差,類(lèi)比著寫(xiě):①雙曲線或拋物線; ②a,b或p; ③相似比為m;④等比,再加以證明即可.
解答:解:(1)設(shè)所求的橢圓方程為
+=1,則有
解得
∴所要求的橢圓方程為
+=1(2)①當(dāng)射線與y軸重合時(shí),
|OA|+=
+=②當(dāng)射線不與坐標(biāo)軸重合時(shí),由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,我們僅考察A、B在第一象限的情形.
設(shè)其方程為y=kx(k≥0,x>0),設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
由
解得
|OA|=由
解得
,
∴
|OB|=∴
|OA|+=
+令
t=則由
t===知
<t≤2∴
|OA|+=
t+記
f(t)=t+,則f(t)在
(,2]上是增函數(shù),∴
f()<f(t)≤f(2),
∴
<|OA|+≤由①②知,
|OA|+的最大值為
,
|OA|+的最小值為
.
(3)本題根據(jù)學(xué)生提出和解決問(wèn)題的質(zhì)量評(píng)分
命題結(jié)構(gòu):條件?結(jié)論
條件由四部分組成:
其中基本條件為:橢圓、
a=2,b=、m=2、等差,
得分條件為:①雙曲線或拋物線; ②a,b或p; ③相似比為m;④等比.
例1:①雙曲線+②a,b+③相似比為m+等差
過(guò)原點(diǎn)的一條射線分別與兩條雙曲線C
1:
-=1和C
2:
-=1(m>0)交于A、B兩點(diǎn),P為線段AB上的一點(diǎn),若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列,則點(diǎn)P的軌跡方程為
-=1證明:∵射線l與雙曲線有交點(diǎn),不妨設(shè)其斜率為k,顯然
|k|<.
設(shè)射線l的方程為y=kx,設(shè)點(diǎn)A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2)、p(x,y)
由
解得
x1=,
由
解得
x2=由P點(diǎn)在射線l上,且2|OP|=|OA|+|OB|得
即
得
-=1例2:①拋物線+②p+③相似比為m+等差
過(guò)原點(diǎn)的一條射線分別與兩條拋物線C
1:y
2=2px(p>0)和C
2:y
2=2mpx(m>0)相交于異于原點(diǎn)的A、B兩點(diǎn),P為線段AB上的一點(diǎn),若|OA|、|OP|、|OB|成等差數(shù)列,則點(diǎn)P的軌跡方程為y
2=(1+m)px
證明:∵射線l與拋物線有異于原點(diǎn)的交點(diǎn),不妨設(shè)其斜率為k.
設(shè)射線l的方程為y=kx,設(shè)點(diǎn)A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2)、p(x,y)
由
解得
x1=,
由
解得
x2=由P點(diǎn)在射線l上,且2|OP|=|OA|+|OB|得
即
得 y
2=(1+m)px