Question

某公司準(zhǔn)備在門前建造一個(gè)長軸為20米，短軸長為16米的橢圓形噴水池．在長軸上的M₁、M₂處設(shè)計(jì)兩個(gè)噴水頭，使噴出的水花形成有相等半徑的⊙M₁與⊙M₂，且⊙M₁與⊙M₂外切，兩圓均與橢圓內(nèi)切．試確定點(diǎn)M₁與M₂的位置及其半徑．

Answer 1

分析：以⊙M₁與⊙M₂的切點(diǎn)為原點(diǎn)，M₁、M₂所在的線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．依題意可知圓的方程，設(shè)出圓2的方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)位置與橢圓相切可知判別式等于0求得r，

解答：解：以⊙M₁與⊙M₂的切點(diǎn)為原點(diǎn)，M₁、M₂所在的線
為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
則橢圓的方程為

x2

100

+

y2

64

=1，設(shè)⊙M₂的方程為（x-r）²+y²=r²．
由

(x-r)2+y2=r2 x2 100 + y2 64 =1

，得9x²-50rx+1600=0．而⊙M₂內(nèi)切于橢圓，
∴△=（-50r）²-4×9×1600=0，解得r=4.8．
答：點(diǎn)M₁在長軸中點(diǎn)向左4.8米處，點(diǎn)M₂在長軸中點(diǎn)向右4.8米處．其半徑均為4.8米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和解決實(shí)際問題的能力．