已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立．
【答案】分析：（1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=0處取極值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得．然后令，求出導函數(shù)，討論導函數(shù)的增減性，得到b的取值范圍；
（3）求出f′（x）=0時x的值，討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值為f（0），故ln（x+1）-x2-x≤0，然后取x=＞0，代入得到結(jié)論成立．
解答：解（1），∵x=0時，f（x）取得極值，
∴f'（0）=0，
故，解得a=1．經(jīng)檢驗a=1符合題意．
（2）由a=1知，得．
令，
則在[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，
等價于φ（x）=0在[0，2]上恰有兩個不同實數(shù)根．，
當x∈（0，1）時，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
當x∈（1，2）時，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
依題意有，∴
（3）f（x）=ln（x+1）-x2-x的定義域為{x|x＞-1}．
由（1）知時，（舍去），
∴當-1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x2-x≤0（當且僅當x=0時，等號成立）．
對任意正整數(shù)n，取得，．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，注意函數(shù)與方程的綜合運用，以及會進行不等式的證明．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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