Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|（a＞0），其最小值為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+|x|＞m²-2m對(duì)于任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的最小值，得到關(guān)于a的方程，求出a的值即可；
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m²-2m＜3，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，
故|a-1|=3，解得：a=-2或4，
由a＞0，得a=4；
（2）由（1）得f（x）=|x-1|+|x-4|，
x≥4時(shí)，f（x）=x-1+x-4=2x-5≥3，
1＜x＜4時(shí)，f（x）=x-1-x+4=3，
x≤1時(shí)，f（x）=1-x-x+4=-2x+5≥3，
∴f（x）+|x|≥3，當(dāng)x=0時(shí)”=“成立，
故m²-2m＜3即（m+1）（m-3）＜0，解得：-1＜m＜3，
故m的范圍是（-1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．