Question

【題目】函數(shù)（a為常數(shù)，且）在處取得極值．

（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）關(guān)于x的方程在上恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1），的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）．（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）首先寫(xiě)出函數(shù)的定義域，之后求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用條件，得到等式，解出，代入導(dǎo)函數(shù)解析式，令，，求得函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間；

（2）將的解析式代入方程，化簡(jiǎn)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合題意，得到不等式組，求得結(jié)果；

（3）結(jié)合（1），得到，進(jìn)一步得到成立，對(duì)依次取值，累加得到結(jié)果.

（1），，由題意得，，

得，

當(dāng)時(shí)，，

令，得，

令，得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）關(guān)于x的方程，

化簡(jiǎn)為，

令，

，

令，解得或1，

令，得，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

關(guān)于x的方程在上恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根，

則只需

得．

（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)時(shí)，令，則成立，

即成立

將n依次取1，2，3，4，5，…………，

可得，

，

……

，

，

累加求和得：，

即當(dāng)時(shí)，成立．