已知函數(shù)f（x）=x3-log3（
x2+1
-x），則對于任意實數(shù)a、b，a+b≠0，
f(a)+f(b)
a+b
取值的情況是（　�。�
A、大于0B、小于0
C、等于0D、不確定
分析：先由函數(shù)的解析式推出函數(shù)f（x）=x3-log3（
x2+1
-x）是奇函數(shù)，且在R上單調增；再設a+b＞0得a＞-b，所以f（a）＞f（-b）?f（a）+f（b）＞0即可推得結論．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x3-log3（
x2+1
-x），
∴f（-x）=（-x）3-log3(
(-x)2+1
-(-x))=-x3-log3
1
x2+1
-x
=-x3+log3(
x2+1
-x)=-f（x）．
x2+1
-x=
1
x2+1
+x
在R上單調減，x3在R上單調增
∴函數(shù)f（x）=x3-log3（
x2+1
-x）是奇函數(shù)，且在R上單調增．
不妨設a+b＞0，則a＞-b，所以f（a）＞f（-b），
所以f（a）+f（b）＞0，
所以
f(a)+f(b)
a+b
＞0．
故選  A．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性，是對函數(shù)基本性質的綜合考查，屬于中檔題．解決本題的關鍵在于由函數(shù)的解析式推出函數(shù)f（x）=x3-log3（
x2+1
-x）是奇函數(shù)，且在R上單調增這一結論．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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