Question

袋中裝有大小相同的黑球、白球和紅球共10個，已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．
（1）求袋中各色球的個數(shù)；
（2）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）和方差D（ξ）；
（3）若η=aξ+b，Eη=11，Dη=21，試求出a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：黑球個數(shù)為=4，設(shè)白球的個數(shù)為y，所以可得：進而求出答案．
（2）由題設(shè)知ξ的所有取值是0，1，2，3，分別求出其發(fā)生的概率即可得到ξ的分布列，進而得到期望與方差．
（3）根據(jù)題意可得：Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ，結(jié)合題意列方程組得：，即可求出a與b數(shù)值．
解答：解：（1）因為從袋中任意摸出1球得到黑球的概率是，
設(shè)黑球個數(shù)為x，則：解得：x=4…（1分）
設(shè)白球的個數(shù)為y，又從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是，
則：解得：y=5…（3分）
所以 袋中白球5個，黑球4個，紅球1個      …（4分）
（2）由題設(shè)知ξ的所有取值是0，1，2，3，則：…（6分）
分布列表為：

ξ		1	2	3
P

…（7分）
所以Eξ==，
所以Dξ=×=．
（3）∵η=aξ+b
∴Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a²Dξ  …（10分）
又 Eη=11，Dη=21
所以               …（12分）
解得：或
即：所求a，b的值為或…（14分）
點評：本題主要考查排列組合、概率等基礎(chǔ)知識，同時考查對立事件的概率與古典概型等問題，以及離散型隨機變量的期望與方差的公式，是一個綜合題．