Question

設{a_n}是集合{2^t+2^s|0≤s＜t且s，t∈N}中所有的數從小到大排成的數列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，將數列{a_n}各項按從小到大寫成如下三角形數表，用b_ij表示數表中第i行第j個數（1≤j≤i）則
（Ⅰ）a₂₇=

 

．
（Ⅱ）

n

i=1

（

i

i=1

bij）=

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：規(guī)律型,集合

分析：（I）如果用（t，s）表示2^t+2^s，則a₁=（1，1）=2^1-1+2¹=3，a₂=（2，1）=2²+2^1-1=5，a₃=（2，2）=2²+2^2-1=6，第n行有n個數，設a₂₇在第n行，則

n(n-1)

2

+1≤27≤

n(n+1)

2

，由此能求出a₂₇．
（II）依題意，b_n=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，然后由錯位相減法能得到前n項和S_n=

n

i=1

（

i

i=1

bij）．

解答： 解：（I）第n行有n個數，設a₂₇在第n行，則

n(n-1)

2

+1≤27≤

n(n+1)

2

，
則n=7，且a₂₇為第7行的第6項，
則a₂₇=2⁷+2^6-1=128+32=160；
（II）依題意，第n行的總和

i

i=1

bij=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，

n

i=1

（

i

i=1

bij）=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（2×2¹-1）+（3×2²-1）+…+（n×2^n-1-1）+[（n+1）2ⁿ-1]=[2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）2ⁿ]-n，
2

n

i=1

（

i

i=1

bij）=[2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]-2n，
兩式相減，并由等比數列前n項和公式得：

n

i=1

（

i

i=1

bij）=-2×2¹-[2²+2³+…+2ⁿ]+（n+1）2ⁿ⁺¹-n
=n×（2ⁿ⁺¹-1）．
故答案為：160，n（2ⁿ⁺¹-1）

點評：本題考查了一個探究規(guī)律型的問題，解題時要認真分析題意，尋找其中的規(guī)律，從而解出結果．