Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x，其中k∈R．
（I）若函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，求k的取值范圍；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，即方程f（0）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，也即x³+（k-1）x²+（k+5）x=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，易知x³+（k-1）x²+（k+5）x=0有一個(gè)根為0，
所以x²+（k-1）x+（k+5）=0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根，再利用判別式判斷k為何值時(shí)符合條件即可．
（II）解法一：若函數(shù)為增函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)大于0，若函數(shù)為減函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)小于0，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)既有正值也有負(fù)值，也即f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)，再分四種情況：①一個(gè)實(shí)根在x=0取得，一個(gè)實(shí)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)；②一個(gè)實(shí)根在x=3取得，一個(gè)實(shí)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)；③一個(gè)實(shí)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)，另一個(gè)實(shí)根在區(qū)間[0，3]外；④在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，分別討論k的取值范圍即可．
解法二：同解法一，可知，f′（x）=0有實(shí)數(shù)根，且△≠0，所以?x∈（0，3），使得k（2x+1）=-（3x²-2x+5）成立，即?x∈（0，3），使得k=-

3x2-2x+5

2x+1

成立，利用導(dǎo)數(shù)求出

3x2-2x+5

2x+1

的范圍，也即k的范圍，再與△≠0解得的k的范圍取交集即可．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，∴方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即x³+（k-1）x²+（k+5）x=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴方程x²+（k-1）x+（k+5）=0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根，
∴

k+5≠0 (k-1)2-4(k+5)2＞0

∴

k≠-5 -11＜k＜-3

∴-11＜k＜-3，且k≠-5
故k的取值范圍是（-11，-5）∪（-5，-3）．
（II）解法一：f′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是關(guān)于x的方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
且至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)．
即3x²+2（k-1）x+（k+5）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)．
①若f′（0）=k+5=0，則k=-5，f′（x）=3x²-12x=3x（x-4）．
方程f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)根0，4均不在區(qū)間（0，3）內(nèi)，所以k≠-5．
②若f′（3）=7k+26=0，則k=-

26

7

，f′（x）=3（x-3）（x-

1

7

）．
方程f′（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有實(shí)根

1

7

，所以k可以為-

26

7

③若方程f′（x）=0有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間（0，3）內(nèi)，另一個(gè)實(shí)根在區(qū)間[0，3]外，
則f′（0）f′（3）＜0，即（k+5）（7k+26）＜0，-5＜k＜-

26

7

④若方程f′（x）=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則

f′(3)=7k+26＞0 f′(0)=k+5＞0 0＜- k-1 3 ＜ 3 △=4(k-1)2-12(k+5)＞0

，
∴

k＞- 26 7 k＞-5 -8＜k＜1 (k+2)(k-7)＞0

，
∴-

26

7

＜k＜-2
綜合①②③④得k的取值范圍是（-5，-2）
解法二：f′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是關(guān)于x的方程3x²+2（k-1）x+（k+5）=0
在區(qū)間（0，3）上有實(shí)根且△=4（k-1）²-12（k+5）≠0
關(guān)于x的方程3x²+2（k-1）x+（k+5）=0在區(qū)間）0，3）上有實(shí)根的充要條件是
?x∈（0，3），使得k（2x+1）=-（3x²-2x+5）
∴?x∈（0，3），使得k=-

3x2-2x+5

2x+1

=-

3

4

[（2x+1）+

9

2x+1

-

10

3

]
令t=2x+1，有t∈（1，7），記h（t）=t+

9

t

，H′（t）=1-

9

t2

=

(t+3)(t-3)

t2

由h′（t）＜0，得1＜t＜3，由h′（t）＞0，得3＜t＜7
∴函數(shù)h（t）在[1，3]上單調(diào)遞減，在[3，7]上單調(diào)遞增，
∴有h（t）∈[6，10]，
即k=-

3

4

[h（t）-

10

3

]∈（-5，-2]．
又由△=4（k-1）²-12（k+5）≠0，得k≠-2，且k≠7
故k的取值范圍是（-5，-2）

點(diǎn)評(píng)：本題（I）主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念及求法，（II）考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及恒成立問(wèn)題的解法．