Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出以下四個(gè)命題：
①當(dāng)c=0時(shí)，有f（-x）=-f（x）成立；
②當(dāng)b=0，c＞0時(shí)，方程f（x）=0，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱 
④當(dāng)x＞0時(shí)；函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是．
其中正確的命題的序號(hào)是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)“奇”ד偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)定義可判斷①；
當(dāng)b=0時(shí)，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，故②正確；
利用函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的定義，可證得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱，故③正確；
當(dāng)x＞0時(shí)；函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，b取不同值時(shí)，函數(shù)的最小值可判斷④
解答：解：當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x|+bx為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）恒成立，故①正確；
b=0時(shí)，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，且值域?yàn)镽，故方程f（x）=0，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)閒（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱，故③正確；
當(dāng)x＞0時(shí)；函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有最小值是c，當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）有最小值是故④不正確．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象的對(duì)稱性和函數(shù)零點(diǎn)與等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．