Question

已知橢圓：=1．
（1）若點(diǎn)（x，y）為橢圓上的任意一點(diǎn)，求證：直線=1為橢圓的切線；
（2）若點(diǎn)P為直線x+y-4=0上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作橢圓的切線PM、PN，其中M、N為切點(diǎn)，試求橢圓的右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，知，由，得，由△=，知直線為橢圓的切線．
（2）設(shè)P（x，y），則x=4-y，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則PM，PN切線方程為，且過(guò)P（x，y），則，故MN所在直線方程xx+2yy-8=0，由此能求出求橢圓的右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最大值．
解答：解：（1）由題意，，即，…①
由，
則（2）x²-16xx+64-16=0，（4分）
代入①式，得，
則△，
∴直線為橢圓的切線（6分）
（2）設(shè)P（x，y），則x+y-4=0，即x=4-y，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由（1）知，PM，PN切線方程為，
且過(guò)P（x，y），則，
∴MN所在直線方程為，
即xx+2yy-8=0，（10分）
設(shè)所求距離為d，且F（2，0），
則
=
=
=，
∴當(dāng)y=4時(shí)，d_min=1．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．