Question

如圖，點(diǎn)A（- a，0），B（，）是橢圓上的兩點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)C任意作一條直線PQ與橢圓相交于P，Q，求PQ的取值范圍．

 

Answer 1

解：（1）由B（，），C（0，1），得直線BC方程為．

    令y = 0，得x = -2，∴a = 2．                               

    將B（，）代入橢圓方程，得．∴b² = 2．

    橢圓方程為．                                 

（2）① 當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，PQ = ；                     

② 當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線PQ：y = kx + 1（k≥0），

代入橢圓方程x² + 2y² - 4 = 0，得x² + 2(kx + 1)² - 4 = 0．

即 (2k² + 1) x² + 4kx - 2 = 0．                                  

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則 ．

則 | x₁ - x₂ | = ．PQ = ．          

=．                                     

∵，在k =時(shí)取等號(hào)，              

∴PQ² = Î（8，9]．則PQÎ．      

由①，②得PQ的取值范圍是．