Question

（理）定義區(qū)間（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的長度均為d-c，其中d＞c．
（1）已知函數(shù)y=|2^x-1|的定義域為[a，b]，值域為[0，

1

2

]，寫出區(qū)間[a，b]長度的最大值與最小值．
（2）已知函數(shù)f_M（x）的定義域為實數(shù)集D=[-2，2]，滿足f_M（x）=

x，x∈M -x，x∈M

（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[-2，-1]，求F（x）=

fA∪B(x)

fA(x)+fB(x)+3

的值域所在區(qū)間長度的總和．
（3）定義函數(shù)f（x）=

1

x-1

+

2

x-2

+

3

x-3

+

4

x-4

-1，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上是否有零點，并求不等式f（x）＞0解集區(qū)間的長度總和．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)形結(jié)合求出即可；（2）中求出兩區(qū)間長度作和即可；（3）找出①②③三個關(guān)系式，比較得出結(jié)論．

解答： 解：（1）|2x-1|=

1

2

，
解得x=-1或x=log2

3

2

，
|2^x-1|=0，解得x=0，
畫圖可得：區(qū)間[a，b]長度的最大值為log₂3，

最小值為log2

3

2

．
（2）F(x)=

x 3 ，x∈A∪B x 2x-3 ，x∈(-1，1)

當(dāng)x∈A∪B，F(x)∈[-

2

3

，-

1

3

]∪[

1

3

，

2

3

]，
當(dāng)x∈（-1，1），F(x)∈(-1，

1

5

)，
所以x∈[-2，2]時，F(x)∈(-1，

1

5

)∪[

1

3

，

2

3

]
所以值域區(qū)間長度總和為

23

15

．
（3）由于當(dāng)2＜x＜3時，取x=2.001，f（2.001）＞0，
取x=2.999，f（2.999）＜0，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（2，3）內(nèi)有一個解
考慮函數(shù)f(x)=

1

x-1

+

2

x-2

+

3

x-3

+

4

x-4

-2，
由于當(dāng)x＜1時，f（x）＜0，
故在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)，不存在使f（x）＞0的實數(shù)x；
對于集合{1，2，3，4}中的任一個k，由于當(dāng)k-1＜x＜k時，
取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1-0.001，f（x）＜0
又因為函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）內(nèi)各有一個解；
依次記這4個解為x₁，x₂，x₃，x₄，
從而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x₁）∪（2，x₂）∪（3，x₃）∪（4，x₄），
故得所有區(qū)間長度的總和為S=（x₁-1）+（x₂-2）+（x₃-3）+（x₄-4）=x₁+x₂+x₃+x₄-10…①
對f（x）＞0進行通分處理，分子記為p（x）

p(x)=(x-2)(x-3)(x-4)+2(x-1)(x-3)(x-4)+3(x-1)(x-2)(x-4)+4(x-1)(x-2)(x-3) -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

如將p（x）展開，其最高項系數(shù)為-2，設(shè)p(x)=-2x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②
又有p（x）=-2（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（x-x₄）…③
對比②③中p（x）的x³系數(shù)，2（x₁+x₂+x₃+x₄）=1+2+3+4+2（1+2+3+4）=30
可得：S=x₁+x₂+x₃+x₄-10=5．

點評：本題屬于函數(shù)零點的判定定理的應(yīng)用問題，本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，是同類問題求解中難度較大的題型