Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=

2

m，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是

(1-

2

2

)m

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，該球的最大半徑是四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球半徑．因此設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，算出四棱錐P-ABCD的表面積，從而得到四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

（2+

2

）m²r，再根據(jù)PD是四棱錐的高且底面ABCD是正方形，得到V=

1

3

m³，由此即可解出內(nèi)切球的半徑r值，從而得到該球的最大半徑．

解答：解：根據(jù)題意，球的最大半徑是四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球半徑，設(shè)這個(gè)半徑為r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，
∴△PAD和△PCD都是直角邊長(zhǎng)為m的等腰直角三角形，
可得S_△PAD=S_△PCD=

1

2

m²
∵Rt△PAB中，PA=

2

m，AB=m，
∴S_△PAB=

1

2

PA•AB=

2

2

m²，同理可得S_△PCD=

2

2

m²
又∵S_ABCD=m²，∴四棱錐P-ABCD的表面積為S_表=S_△PAD+S_△PCD+S_△PAB+S_△PCD+S_ABCD=（2+

2

）m²
因此，四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×S_表×r=

1

3

（2+

2

）m²r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×S_ABCD×PD=

1

3

m³，
由此可得

1

3

（2+

2

）m²r=

1

3

m³，解之得r=

1

2+ 2

m=(1-

2

2

)m
因此，在四棱錐P-ABCD內(nèi)放一個(gè)球，該球的最大半徑是(1-

2

2

)m
故答案為：(1-

2

2

)m

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為正方形、一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，求它的內(nèi)切球半徑．著重考查了錐體體積公式和球的內(nèi)切、外接多面體等知識(shí)，屬于中檔題．