Question

22.設(shè)P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲線C上的點(diǎn)，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²構(gòu)成了一個(gè)公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

 (1)若C的方程為－y²=1,n=3,點(diǎn)P₁(3，0)及S₃=162，求點(diǎn)P₃的坐標(biāo)；(只需寫出一個(gè))

 (2)若C的方程為y²=2px(p≠0)，點(diǎn)P₁(0，0),對(duì)于給定的自然數(shù)n，證明：(x₁+p)²,(x₂+p)²,…,(x_n+p)²成等差數(shù)列；

 (3)若C的方程為+=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P₁(a，0)，對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時(shí)，求S_n的最小值.

Answer 1

22. [解] (1)a₁=|OP₁|²=9,由S₃=(a₁+a₃)=162,

得a₃=|OP₃|²=99.

由解得

∴點(diǎn)P₃的坐標(biāo)可以為(3，3).

(2) 證明：對(duì)每個(gè)自然數(shù)k，1≤k≤n.由題意|OP_k|²=(k－1)d，及

得x_k²+2px_k=(k－1)d,

即(x_k+p)²=p²+(k－1)d.∴(x₁+p²),(x₂+p)²,…,(x_n+p)²是首項(xiàng)為p²,公差為d的等差數(shù)列.

(3)[解法一] 原點(diǎn)O到二次曲線C：=1(a＞b＞0)上各點(diǎn)的最小距離為b，最大距離為a.

∵a₁=|OP₁|²=a²∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+(n－1)d≥b²,

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,∴S_n=na²+d在［,0)上遞增.

故S_n的最小值為na²+×=.

[解法二] 對(duì)每個(gè)自然數(shù)k(2≤k≤n),

由解得y_k²=.

∵0＜y_k²≤b²,得≤d＜0,

∴≤d＜0.

以下與解法一相同.