Question

【題目】已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，且的最小值是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知?jiǎng)又本�與圓：相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在

【解析】

（1）根據(jù)焦距和橢圓的幾何意義即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分別對(duì)斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，相切即圓心到直線距離等于半徑，即向量的數(shù)量積為零，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算即可求解.

（1）因?yàn)?/span>的最小值是，所以，

因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，即，

所以，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

因?yàn)橹本�與圓相切，所以直線的方程為，

則直線與橢圓的交點(diǎn)為或，

因?yàn)?/span>，所以，所以，即，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立，整理得，

則，，

因?yàn)?/span>，在直線上，所以，

將，代入上式，得，

因?yàn)?/span>，所以，即，

因?yàn)閯?dòng)直線與圓相切，所以，所以，即，

綜上，存在，使得.