Question

△ABC三邊各不相等，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且acosA=bcosB，則

a+b

c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)acosA=bcosB，利用正弦定理與二倍角的公式化簡得sin2A=sin2B，結(jié)合A≠B算出A+B=

π

2

，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形．再根據(jù)勾股定理與基本不等式加以計算，可得

a+b

c

的取值范圍．

解答：解：∵△ABC中，acosA=bcosB，
∴根據(jù)正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．
又∵A、B∈（0，π），且A≠B，
∴2A+2B=π，得A+B=

π

2

，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形．
因此，

a+b

c

=

a+b

a2+b2

=

(a+b)2 a2+b2

=

1+ 2ab a2+b2

，
∵a、b是不相等的正數(shù)，可得a²+b²＞2ab＞0，
得

2ab

a2+b2

∈（0，1），
∴

a+b

c

=

1+ 2ab a2+b2

的取值范圍為(1，

2

)
故答案為：(1，

2

)

點評：本題已知三角形滿足的邊角關(guān)系式，求

a+b

c

的取值范圍．著重考查了正弦定理、二倍角的正弦公式與基本不等式等知識，屬于中檔題．