Question

已知x滿足不等式（log₂x）²+7log₂x+6≤0，求函數(shù)f（x）=（log₂4x）•（log₄2x）的值域．

Answer 1

分析：把“對(duì)數(shù)log₂x”作為一個(gè)整體，求不等式（log₂x）²+7log₂x+6≤0的解集，即求出log₂x的范圍，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換低公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再把“對(duì)數(shù)log₂x”作為一個(gè)整體利用配方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，由log₂x的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的值域．

解答：解：由題意知：（log₂x）²+7log₂x+6≤0，解得-6≤log₂x≤-1
∵f（x）=（log₂4x）•（log₄2x）=（log₂⁴+log₂^x）（

1

2

log₂²+

1

2

log₂^x）
=

1

2

(log22x+3log2x+2)，
∴f(x)=

1

2

[log22x+3log2x+2]=

1

2

[log2x+

3

2

]2-

1

8

，
由-6≤log₂x≤-1得：0≤(log2x+

3

2

)2≤

81

4

，
∴當(dāng)log₂x=-

3

2

時(shí)，f（x）有最小值是-

1

8

；當(dāng)log₂x=-6時(shí)，f（x）有最大值是10，
∴-

1

8

≤f(x)≤10，
∴f（x）的值域是[-

1

8

，10]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，把“對(duì)數(shù)log₂x”作為一個(gè)整體，求它的范圍，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于它的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域，考查了整體思想和轉(zhuǎn)化思想．