Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=3a_n+2；數(shù)列{b_n}，其中b_n=a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)c_n=（2n-1）b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），
所以{a_n+1}為以a₁+1為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
故a_n=3ⁿ-1；
（2）由（1）得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=（3-1）+（3²-1）+…+（3ⁿ-1）
=（3+3²+…+3ⁿ）-n
=-n=-n-；
（3）b_n=a_n+1=3ⁿ，所以c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）3ⁿ，
所以T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）3ⁿ①，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）3ⁿ⁺¹②，
①-②得，-2T_n=3+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2（1-n）•3ⁿ⁺¹-6，
所以T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
分析：（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），可判斷{a_n+1}為等比數(shù)列，可求得a_n+1，進(jìn)而可得a_n；
（2）分組后分別用等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式即可求得S_n；
（3）由（1）先求得b_n，進(jìn)而可得c_n，利用錯(cuò)位相減法即可求得T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查遞推公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合及數(shù)列求和問題，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬中檔題．