Question

設(shè)，β∈（π，2π），的夾角為θ₁，的夾角為θ₂，且θ₁-θ₂=；
（1）用α，β表示cosθ₁，cosθ₂；
（2）求sin的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由α和β的范圍，得到sinα和sinβ的正負(fù)，進(jìn)而得到1+cosα和1-cosβ的正負(fù)，從而確定兩向量所在的象限，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)•，再根據(jù)平面向量的夾角公式即可表示出cosθ₁，同理可表示出cosθ₂；
（2）根據(jù)（1）表示出的cosθ₁和cosθ₂，由角的范圍可表示出θ₁和θ₂，代入已知的等式θ₁-θ₂=，即可求出的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出sin的值．
解答：解：（1）∵α∈（0，π），β∈（π，2π），
∴sinα＞0，sinβ＜0，又1+cosα＞0，1-cosβ＞0，
∴在第一象限，在第四象限，
∴•=1+cosα=||||cosθ₁=cosθ₁，
∴cosθ₁====|cos|=cos，
則θ₁=，
又=1-cosβ=||||cosθ₂=cosθ₂，
∴cosθ₂===|sin|=sin=cos（-），
則θ₂=-；
（2）由θ₁-θ₂=，將（1）表示出的θ₁和θ₂代入得到-（-）=，即=-，
所以=-，
則sin=sin（-）=-sin=-．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，數(shù)量積表示兩向量的夾角，二倍角的余弦函數(shù)公式及二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及數(shù)量積表示兩向量的夾角是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．