Question

在二項(xiàng)式（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（3）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）利用展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，推出關(guān)系式然后求解n的值；
（2）通過展開式的通項(xiàng)公式，令x的系數(shù)為0，即可求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（3）通過x=1，即可求解展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和．

解答： 解：（1）依題意知(

3	x

-

1

2 3 x

)n展開式中的第r+1項(xiàng)為Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

2

)r(

1

3 x

)r=

C

r n

(-

1

2

)rx

n-2r

3

…（2分）
∴前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值為：

C

0 n

，

C 1 n

2

，

C 2 n

4

即1，

n

2

，

n(n-1)

8

…（3分）
依題意知，n=1+

n(n-1)

8

，n2-9n+8=0
∴n=8（n=1舍去）…（5分）
（2）由（1）知Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，令

8-2r

3

=0得r=4…（8分）
∴第五項(xiàng)T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

為常數(shù)項(xiàng)…（10分）
（3）令x=1得各項(xiàng)系數(shù)和為(

1

2

)8=

1

256

…（15分）

點(diǎn)評：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題、考查有理項(xiàng)是冪的指數(shù)為整數(shù)．