Question

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n，n=1，2，3，…
（I）求a₁、a₂、a₃；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求證：fn(

1

3

)＜1．

Answer 1

分析：（I）將x=-1代入函數(shù)f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中，分別令n=1，2，3便可以求出a₁、a₂、a₃的值；
（II）利用題中的公式先求出a_n+1的表達(dá)式即可求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（III）利用數(shù)列的差項(xiàng)相減法便可求出f_n（

1

3

）的表達(dá)式，進(jìn)而可以證明fn(

1

3

)＜1．

解答：解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1（1分）
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5（3分）
（II）∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n
∴a_n+1=（n+1）+n
即a_n+1=2n+1
所以對(duì)于任意的n=1，2，3，a_n=2n-1（7分）
（III）f_n（x）=x+3x²+5x³++（2n-1）xⁿ
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ           ①

1

3

f_n（

1

3

）=（

1

3

）²+3（

1

3

）³+5（

1

3

）⁴+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹   ②
①─②，得

2

3

f_n（

1

3

）=（

1

3

）+2（

1

3

）³+2（

1

3

）⁴+…+2（

1

3

）ⁿ-（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹ （9分）
=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-

2n-2

3

(

1

3

)n
∴fn(

1

3

)=1-

n-1

3n

，（12分）
又n=1，2，3，故fn(

1

3

)＜1（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．