Question

如圖示，已知直線(xiàn)l₁∥l₂，點(diǎn)A是l₁，l₂之間的一個(gè)定點(diǎn)，且A到l₁，l₂的距離分別為4、3，點(diǎn)B是直線(xiàn)l₁上的動(dòng)點(diǎn)，若

AC

•

AB

=0，AC與直線(xiàn)l₂交于點(diǎn)C，則△ABC面積的最小值為（　�。�

A．3

B．6

C．12

D．18

Answer 1

分析：過(guò)A作EF⊥l₁，與l₁交于E，與l₂交于F，設(shè)∠EAB=α，則∠FAC=90°-α，由A到l₁，l₂的距離分別為4、3，能夠得到AB=

4

cosα

，AC=

3

cos(90°-α)

=

3

sinα

，所以△ABC的面積S=

12

sin2α

，由此知當(dāng)α=45°時(shí)，sin2α=1，面積S獲得最小值．

解答：解：如圖，過(guò)A作EF⊥l₁，與l₁交于E，與l₂交于F，
設(shè)∠EAB=α，則∠FAC=90°-α，
∵A到l₁，l₂的距離分別為4、3，
∴AE=4，AF=3，
∴AB=

4

cosα

，AC=

3

cos(90°-α)

=

3

sinα

，
∴△ABC的面積S=

1

2

AB•AC
=

1

2

×

4

cosα

×

3

sinα

=

12

sin2α

，
當(dāng)α=45°時(shí)，sin2α=1，面積S獲得最小值12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的靈活運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)刈鞒鰣D形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，有事半功倍之效．