Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+x-a）e 

x

a

（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x=-5時(shí)，f（x）取得極值，求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m≥-5）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值，通過討論確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值．

解答：解：（1）f′(x)=

1

a

(x2+x-a)e

x

a

+(2x+1)e

x

a

=

1

a

x(x+1+2a)e

x

a

，
當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=x（x+3）e^x．
解f'（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f'（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3）和（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-3，0），
（2）當(dāng)x=-5時(shí)，f（x）取得極值，所以f′(-5)=

1

a

(-5)(-5+1+2a)e

-5

a

=0，解得a=2（經(jīng)檢驗(yàn)a=2符合題意）所以f′(x)=

1

2

x(x+5)e

x

2

．

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函數(shù)f（x）在（-∞，-5），（0，+∞）遞增，在（-5，0）遞減
當(dāng)-5≤m≤-1時(shí)，f（x）在[m，m+1]單調(diào)遞減，fmin?(x)=f(m+1)=m(m+3)e

m+1

2

．
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，m＜0＜m+1，
f（x）在[m，0]單調(diào)遞減，在[0，m+1]單調(diào)遞增，f_min?（x）=f（0）=-2，
當(dāng)m≥0時(shí)，f（x）在[m，m+1]單調(diào)遞增，fmin?(x)=f(m)=(m+2)(m-1)e

m

2

．
綜上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin?(x)=

m(m+3)e m+1 2 ，-5≤m≤-1   -2，           -1＜m＜0 (m+2)(m-1)e m 2 ，m≥0

．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和函數(shù)最值和單調(diào)性之間的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．