已知x+4y+3z=2，則x2+y2+z2的最小值為
2
13
2
13
．
分析：利用題中條件：“x+4y+3z=2”構(gòu)造柯西不等式：（x2+y2+z2）×（1+16+9 ）≥（x+4y+3z）2這個條件進行計算即可．
解答：證明：（x2+y2+z2）×（1+16+9 ）≥（x+4y+3z）2=4
∴x2+y2+z2≥
2
13
，
則x2+y2+z2的最小值為
2
13
，
故答案為：
2
13
．
點評：本題考查用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用（x2+y2+z2）×（1+16+9 ）≥（x+4y+3z）2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)x，y，z滿足5x+4y+3z=10．
（1）求證：
25x 2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點P作⊙O的切線PC和割線PBA，點C為切點，割線PBA交⊙O于A，B兩點，點O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點D．
求證：
PC
PA
=
BD
DC
．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a，b∈R，若矩陣A=
a0
-1b
把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
求橢圓C：
x2
16
+
y2
9
=1上的點P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
，求x+y+z的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正數(shù)x，y，z滿足5x+4y+3z=10．
（1）求證：
25x 2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：《第3章 不等式》2011年單元測試卷（蒼南中學(xué)）（解析版） 題型：解答題

已知正數(shù)x，y，z滿足5x+4y+3z=10．
（1）求證：；
（2）求的最小值．

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