Question

如圖，圓柱OO內(nèi)有一個(gè)三棱柱ＡＢＣ—Ａ，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑。

(1)證明：平面平面;

(2)設(shè)ＡＢ=ＡＡ,在圓柱ＯＯ內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自三棱柱ＡＢＣ—ＡＢ內(nèi)的概率為Ｐ.

①當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；

②記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image001.png">平面ABC，平面ABC，所以，

因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

（2）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為

=，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image016.png">，

所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

從而，而圓柱的體積，

故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以的最大值是。

（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image004.png">平面，所以是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量，由，故，

取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image035.png">，

所以。

【解析】略