Question

定義在R1的函數(shù)f（x）滿足：如果對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，則稱f（x）是R1凹函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求證：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的凹函數(shù)；
（2）如果x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：∵二次函數(shù)f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈k，則f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（a

x

21

+x1+a

x

22

+x2）=-

1

2

a(x1-x2)2
∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴

1

2

a(x1-x2)2≥0
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的凹函數(shù)；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，則有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0時(shí)，則a∈k恒成立，
（ii）若x∈（0，1]時(shí)，有 a≥-

1

x

-

1

x2

且a≤-

1

x

+

1

x2

∴a≥-

1

x

-

1

x2

=-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

且a≤-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1．
∴當(dāng)

1

x

=1時(shí)，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

的最4值為-（1+

1

2

）²+

1

4

=-2，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

的最小值為（1-

1

2

）²-

1

4

=0
∴0≥a≥-2．
綜（i）（ii）知，0≥a≥-2