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 數列{an}中，.

（Ⅰ）求a1,a2,a3,a4；  （Ⅱ）猜想an的表達式，并用數學歸納法加以證明.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（Ⅰ）∵，∴，即a1＝1………………………2分

∵，即a1＋a2＝4―a2―1，∴a3＝1，　　　 …………………………4分

∵，即a1＋a2＋a3＝4―a3―，∴a3＝，……………………………6分

∵，即a1＋a2＋a3＋a4＝4―a4―，∴a3＝，………………………8分

（Ⅱ）猜想         …………………………………………………………………10分

證明如下：①當n＝1時，a1＝1，此時結論成立；   ………………………………………12分

②假設當n＝k（k∈N*）結論成立，即，

那么當n＝k＋1時，有

 ,這就是說n＝k＋1時結論也成立.          

綜上所述，對任何n∈N*時.            ………………………………………16分

注：其它解法應參照給分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}中，an+1是函數fn(x)=
1
3
x3-
1
2
(an+3)x2+(an+2)x(n∈N*)的極小值點，且a1=3，an＞0．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記Sn為數列{an}的前n項和，試比較Sn與2n的大小關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}中，a1=3，a2=7，當n≥2時，an+1是積anan-1的個位數，則a2010=
9
9
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•成都一模）在數列{an}中，a1=2，a2=4，且當n≥2時，a
 
2
n
=an-1an+1，n∈N*．
（I）求數列{an}的通項公式an；
（II）若bn=（2n-1）an，求數列{bn}的前n項和Sn；
（III）求證：
1
a1
+
1
2a2
+
1
3a3
+…+
1
nan
＜
3
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}中，a1=1，且Sn，Sn+1，2S1成等差數列（Sn表示數列{an}的前n項和），則S2，S3，S4分別為
3
2
，
7
4
，
15
8
3
2
，
7
4
，
15
8
，由此猜想出Sn=
2n-1
2n-1
2n-1
2n-1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an} 中，a1=0，an+1=-an+3n，其中n=1，2，3…．
（I）求數列{an}  的通項公式；
（II）求
anan+1
的最大值．

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