Question

已知圓C：x²＋y²－2x－4y－20＝0及直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交；

(2)求直線l被圓C截得的弦長最短長度及此時(shí)的直線方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：把直線l的方程改寫成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0． 　　由方程組 　　∴直線l總過定點(diǎn)(3，1)． 　　圓C的方程可寫成(x－1)2＋(y－2)2＝25． 　　∴圓C的圓心為(1，2)，半徑為5，定點(diǎn)(3，1)到圓心(1，2)的距離為＜5． 　　∴點(diǎn)(3，1)在圓C內(nèi)． 　　∴過點(diǎn)(3，1)的直線l總與圓C相交，即不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓C總相交． 　　(2)解：當(dāng)直線l過定點(diǎn)M(3，1)且垂直于過點(diǎn)M與圓心的半徑時(shí)，l被圓截得的弦長|AB|最短．如圖 　　|AB|＝． 　　此時(shí)，kAB＝＝2． 　　∴直線AB的方程為y－1＝2(x－3)， 　　即2x－y－5＝0． 　　故直線l被圓C截得的弦長的最短長度為， 　　此時(shí)直線l的方程為2x－y－5＝0．

提示：

(1)直線l是過一個定點(diǎn)的直線，若此定點(diǎn)在圓內(nèi)，則此直線l必與圓C總相交． 　　(2)當(dāng)過定點(diǎn)的直線與圓心的距離最短時(shí)，即此直線垂直于定點(diǎn)與圓心的連線時(shí)，被圓截得的弦最短．