Question

函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)時(shí)，f（x）+2＜a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=1，y=0得f（1）-f（0）=（1+2×0+1）×1=2，
移向得出f（0）=f（1）-2=0-2=-2
∴f（0）=-2．…（4分）
（2）令y=0得f（x）-f（0）=（x+2×0+1）x=x（x+1），…（7分）
于是f（x）=x（x+1）+f（0）=x²+x-2．…（9分）
（3）令g（x）=，…（11分）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，
g（x）=在區(qū)間上是增函數(shù)，…（13分）
∴g（x ），即．…（15分）
∵當(dāng)時(shí)，f（x）+2＜a恒成立，故． …（16分）
分析：（1）令x=1，y=0，代入關(guān)系式化簡計(jì)算即可．
（2）令y=0，結(jié)合（1）得出的f（0）=-2．代入關(guān)系式化簡整理即可．
（3）若f（x）+2＜a恒成立，則a的取值應(yīng)大于或等于g（x）=f（x）+2的最大值．主要工作轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立，及抽象函數(shù)問題．考查構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．解決抽象函數(shù)問題，常常采用由特殊到一般的思路：根據(jù)具體問題，對表達(dá)式中的字母靈活賦值、構(gòu)造．